Например, функций построения пространственного.

Построение конических сечений / Блог компании Mail. Ru Group / Хабрахабр. Намедни, отлаживая фрагмент программы, связанной с геометрическими вычислениями я заметил, что одна из переменных имеет одно и то же значение вне зависимости от значений входных параметров.

Естественно, в первую очередь я заподозрил ошибку и потратил некоторое время на ее поиски, но, немного подумав, я понял, что это не ошибка, а одно из известных свойств конических сечений о котором зачастую забывают. После этого я потратил уже значительно больше времени, рисуя красивые геометрические построения, и в итоге решил, что стоит поделиться картинками с кем- то. Так появилась эта пятничная статья. Напомню (а тем, кто не учил высшую математику — сообщу), что коническими сечениями называются такие кривые, как эллипс, парабола и гипербола (есть еще вырожденные случаи – на них мы сейчас останавливаться не будем).

Вообще, конические сечения — очень замечательный объект, встречаются они во многих областях. Можно вспомнить, например, параболические антенны или орбиты небесных тел. Флеш Игры Снос Зданий здесь. Каждое коническое сечение являются сечением конуса (правда, КЭП?), то есть линией, образовавшейся при пересечении конуса и плоскости. Ну а внешний вид зависит от взаимного расположения плоскости и образующих конуса. Также несложно доказать, что все такие линии являются графиками уравнений второго порядка.

Неужели кому- то нужно доказательство? Конус описывается каноническим уравнением второго порядка вида.

1. Намедни, отлаживая фрагмент программы, связанной с геометрическими. Построение конических сечений. Оба продукта ранее использовали символьное ядро Мапл, а сейчас перешли на Mupad. Возможно в .
2. Данные методические указания содержат программу курса. Построение эпюр необходимо выполнять.
3. Требуется найти положение нейтральной оси, разделяющей области растянутых и сжатых волокон сечения, допускаемую силу
4. Определяем ядро сечения. Сила, приложенная внутри ядра, вызывает в сечении сжатой колонны напряжения одного знака.

Секущую плоскость можно превратить в плоскость z = 0 сделав линейную замену координат. Понятно, что после линейной замены координат степень уравнения не повысится и, подставив в это уравнение значение z = 0, мы получим искомое уравнение второго порядка. Нужно взять соответствующее уравнение второго порядка, аккуратно выписать формулы для расстояний и произвести алгебраические преобразования. Выкладки довольно громоздки, поэтому здесь я приведу только самый простой случай – параболу. Хочется формул? Пусть парабола задана уравнением y = a*x*x, где а некоторая константа. Посчитаем расстояние от любой точки параболы, до точки с координатами (0, 1/(4a)). Тут второе преобразование проведено с использованием уравнения параболы, а остальные – просто перегруппировка элементов и раскрытие скобок.

Получилось, что расстояние от точки параболы до точки (0, 1/(4a)) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = - 1/(4a), что и требовалось. Вообще это была моя любимая часть геометрии, хотя алгебраически действовать зачастую было проще. Конечно же, полностью построить конические сечения, используя циркуль и линейку – невозможно, но можно построить любое количество точек, лежащих на этих кривых. Наиболее простой способ сделать это – использовать упомянутые свойства. Рассмотрим такое построение для эллипса.

Программа курса «сопротивление материалов» для СС-13(11- 13). Построение эпюр. Напряжения и деформации

Пусть O и Q – фокусы эллипса и 2a – заданная сумма расстояний. Возьмем любую прямую, проходящую через фокус O и рассмотри точку X – пересечение прямой и эллипса. Отложив на той же прямой отрезок OY равный 2a, мы получим треугольник QXY.

По свойству эллипса QX + OX равно 2a, а значит QX = XY и указанный треугольник равнобедренный. Это позволяет легко восстановить точку X, построив серединный перпендикуляр к QY. Для гиперболы построение аналогично, только точку Y надо откладывать в другую сторону.

При этом получается, что OY – это разность отрезков XY и OX, а треугольник QXY по- прежнему равнобедренный. Так как алгоритм построения одинаковый, то что именно получится — эллипс или гипербола зависит от того, что больше расстояние между фокусами или длина отрезка, задающего сумма (разность). С параболой немножко сложнее. Пусть O – фокус параболы и задана директриса. Вместо равнобедренного прямоугольника тут надо рассмотреть Параллелограмм OXYZ, где прямые XY и OZ перпендикулярны директрисе.

По свойству параболы, XY = XO, следовательно, этот параллелограмм является ромбом. Имея прямую OX восстановить ромб и найти точку X уже несложно – достаточно провести биссектрису угла XOZ – получить точку Y, как пересечение биссектрисы и директрисы, а потом восстановить перпендикуляр из этой точки до пересечения с задающей прямой. Процесс рисования параболы запечатлен на следующем видео: Ну а все желающие могут самостоятельно увидеть последовательность построений, пошевелить задающие точки и понаблюдать за завораживающим движением вспомогательных окружностей здесь. Не забудьте подвигать точки, подписанные как «Drag me».